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第一课时(抛物线)人教选修1-1

11-07 15:37:14   浏览次数:996  栏目:高三数学教学设计
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●教学目标

(一)教学知识点

1.抛物线的定义.

2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.

(二)能力训练要求

1.掌握抛物线的定义及其标准方程.

2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系.

(三)德育渗透目标

1.训练学生化简方程的运算能力.

2.培养学生数形结合、分类讨论的思想.

3.根据圆锥曲线的统一定义,可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.

●教学重点

1.抛物线的定义及焦点与准线.

2.抛物线的四种标准方程形式,以及p的意义.

●教学难点

抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与准线方程.

●教学方法

启发引导式

通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义,从而推出抛物线的四种标准方程.

●教具准备

投影片两张

第一张:抛物线的四种形式(记作§8.5.1 A)

第二张:例题与课时小结(记作§8.5.1 B)

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]我们知道,到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,当常数在(0,1)内变化时,轨迹是椭圆;当常数大于1时,轨迹是双曲线;那么当常数等于1时轨迹是什么曲线呢?这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线,以及它的定义和标准方程.

板书课题“抛物线及其标准方程(1)”.

[师]现在,同学们思考两个问题:

1.对抛物线大家已有了哪些认识?

[生]在物理学中,抛物线被认为是抛体运动的轨迹;在数学中,抛物线是二次函数的图象.

[师]2.二次函数中抛物线的图象特征是什么?

[生]在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴平行于y轴,开口向上或开口向下两种情形

[师]如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天我们突破函数研究中的限制,从一般意义上来研究抛物线.

Ⅱ.讲授新课

[师]如图所示,把一根直尺固定在图上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征?

[生]这条曲线上任意一点PF的距离与它到直线l的距离相等.再把图板绕点F旋转90°,曲线即为初中见过的抛物线.

[师]现在我们一起归纳抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程,大家先想想一般求曲线方程的步骤.

[生]首先建立适当的坐标系,然后在曲线上任取一点坐标设为(x,y),再根据题意找出xy的关系即为所求方程.

[师]现在大家自己求抛物线方程,根据抛物线定义,知道F是定点,l是定直线,从而Fl的距离为定值,设为p,则p是大于0的数.

以下是学生的几种不同求法:

解法一:以ly轴,过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系(如右图所示),则定点Fp,0)

设动点Mx,y),由抛物线定义得:

化简得:

y2=2px-p2(p>0)

解法二:以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系(如右图所示),则定点F(0,0),l的方程为x=-p.

设动点Mx,y),由抛物线定义得:

=|x+p|

化简得:

y2=2px+p2(p>0)

解法三:取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如右图所示,则有F,0),l的方程为x


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设动点Mx,y),由抛物线定义得:

化简得

y2=2px(p>0)

[师]通过比较可以看出,第三种解法的答案不仅具有较简的形式,而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程,它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是(,0),准线方程是x=-

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