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谈圆锥曲线教学中学生思维品质的培养 人教选修1-1

11-07 15:44:21   浏览次数:353  栏目:高三数学教学设计
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众所周知,人的能力有大小之分,中学生的思维能力也是如此,表现出参差不齐,其中最能体现思维能力差异的是学生表现出来的思维品质.

数学的教学过程,就是要根据教材内容,不断挖掘其潜能,对学生进行思维品质的培养,才能有效地启迪学生的思维,提高课堂教学效率.

下面就圆锥曲线教学中,如何培养学生思维品质,谈谈我们的一些做法.

一、揭示概念内涵

数学概念具有不同程度的抽象性和系统性,圆锥曲线这部分内容中,包含有许多概念,在这些概念的教学中,通过揭示概念的内涵,引导学生理解其实质,深入广泛地思考,全面深刻地分析有关问题,从而有效地培养学生思维的广阔性.

例如,在双曲线概念的教学中,在前面学习“椭圆”定义的基础上,进一步得出双曲线的概念:“平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹,叫做双曲线”.

得出这一结论后,可向学生提出下列问题,帮助学生理解这一概念的内涵.

1.平面内与两定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹,是否一定都是双曲线?

2.在双曲线概念中,将“绝对值”去掉,其余不变,结论有何不同?

3.在双曲线概念中,将括号内“小于|F1F2|”改为大于(或等于)|F1F2|,其余不变,结论有何变化?

4.若概念中的常数为零,动点的轨迹是什么?

通过这样的引导与启发,使学生对双曲线概念中的“绝对值”和“常数”(小于|F1F2|)等内涵有了较全面、较深刻的认识和理解.

二、重视概念的灵活运用

灵活运用概念进行解题,是学习概念的目的之一,也是解题的重要途径.在圆锥曲线的教学中,有目的地引导学生运用概念进行解题,帮助学生观察、联想、探索理解概念的本质,使学生能灵活、熟练地用圆锥曲线定义解决有关问题,达到快捷,简洁的效果.从而培养思维的深刻性.

例1  已知P是椭圆F2分别是它的左、右两个焦点.以|PF2|为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系是(    )

A.外切            B.内切             C.相交              D.相离

分析:解决本题的关键是找出两圆的圆心距与两圆半径的关系.如图1,设PF2的中点为A,连PF1,则|OA|是两圆的圆心距,且又根据椭圆定义.联想到得|PF1|=2a-|PF2|.因此有由于圆心距等于半径之差,故两圆内切,从而问题得到解决.

为了加深学生对概念的运用,还可以给出下列思考题,巩固学生对本题的理解.

思考一:若本例中,椭圆改为双曲线,长轴改为实轴,其余不变,结论如何?

思考二:若本例中的椭圆改为抛物线,长轴改为y轴(或x轴),结论又如何?

思考三:若已知曲线的右焦点为F,点A(1,2)是一定点,P是曲线上一点,那么|PA|+2|PF|的最小值是多少?

经过这些问题的训练与解决,使学生对运用概念解题有了较深刻的认识.

三、培养学生的独立见解

独立见解是指善于根据客观事实,独立发现问题、分析问题和解决问题.对所遇到的问题能设法独立解决,不盲目迷信或照搬现成的答案.

例2  已知实数xy满足        ).

(1993年全国高中数学联赛试题)

本题的一般解法是构造函数、方程或利用均值不等式,或通过三角换元等方法求解.但下面的解法却独树一帜,简明快捷.

解:设


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代入已知式化简整理得:

问题至此,已迎刃而解,可见,利用极坐标法解决二次函数的最值问题,方法新颖别致,给人以耳目一新的感觉.用此方法还可求解一些类似的高考试题,如:

设实数xy满足的最大值是         .(1990年全国高考试题).

四、克服定势思维的影响

学生的定势思维既可能对学生继续学习产生积极作用;也可能对学生继续学习产生消极作用;数学的教学过程,应注意最大限度地克服学生的定势思维对学习的干扰,从而促进思维的发展,培养其思维的灵活性.

例3   已知过椭圆

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