【命题趋向】
导数命题趋势:
综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2007年北京卷) 是 的导函数,则 的值是 .
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷)设函数 ,集合M= ,P= ,若M P,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得M P时,
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(2007年湖南文)已知函数 在区间 , 内各有一个极值点.
(I)求 的最大值;
(II)当 时,设函数 在点 处的切线为 ,若 在点 处穿过函数 的图象(即动点在点 附近沿曲线 运动,经过点 时,从 的一侧进入另一侧),求函数 的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解答过程:(I)因为函数 在区间 , 内分别有一个极值点,所以 在 , 内分别有一个实根,
设两实根为 ( ),则 ,且 .于是
, ,且当 ,即 , 时等号成立.故 的最大值是16.
(II)解法一:由 知 在点 处的切线 的方程是
,即 ,
因为切线 在点 处空过 的图象,
所以 在 两边附近的函数值异号,则
不是 的极值点.
而 ,且
.
若 ,则 和 都是 的极值点.
所以 ,即 ,又由 ,得 ,故 .
解法二:同解法一得
.
因为切线 在点 处穿过 的图象,所以 在 两边附近的函数值异号,于是存在 ( ).
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
设 ,则
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
由 知 是 的一个极值点,则 ,
所以 ,又由 ,得 ,故 .
例4.(2006年安徽卷)若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )
A. B.
C. D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线 垂直的直线 为 ,即 在某一点的导数为4,而 ,所以 在(1,1)处导数为4,此点的切线为 .
故选A.
例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y= x B. y=-3x或y=- x C.y=-3x或y=- x D. y=3x或y= x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为 由
故选A.
例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对 求导数.
解答过程:函数 的导数为 ,曲线 在点P( )处的切线方程为 ,即 ①
曲线 在点Q 的切线方程是 即
②
若直线 是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是 的方程,故得