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概率统计的解题技巧,
思路启迪:确定组距与组数是解决"总体中的个体取不同值较多"这类问题的出发点.
解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下:
⑵频率分布直方图如下:
小结: 合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功.
估计总体分布的基本功。
考点5 正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
(1)正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ,x 其中 、 为常数,并且 >0,则称 服从正态分布,记为 ( , ).
(2)期望E =μ,方差 .
(3)正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方,并且关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由 确定, 越大,曲线越"矮胖";反之越"高瘦".
(4)标准正态分布
当 =0, =1时 服从标准的正态分布,记作 (0,1)
(5)两个重要的公式
① ,② .
(6) 与 二者联系.
① 若 ,则 ;
②若 ,则 .
2.线性回归
简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来,对n个样本数据( ),( ),…,( ),其回归直线方程,或经验公式为: .其中 ,其中 分别为| |、| |的平均数.
例20.如果随机变量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,则P(-1<ξ≤1=等于( )
A.2Φ(1)-1 B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4) D.Φ(-4)-Φ(-2)
解答过程:对正态分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1<ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
例21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N(d,0.52).
(1)若d=90°,则ξ<89的概率为 ;
(2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d至少是 ?(其中若η~N(0,1),则Φ(2)=P(η<2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η<-2.327)=0.01).
思路启迪:(1)要求P(ξ<89)=F(89),
∵ξ~N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.
(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答过程:(1)P(ξ<89)=F(89)=Φ( )=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),
即1-P(ξ<80)≥1-0.01,∴P(ξ<80)≤0.01.
∴Φ( )≤0.01=Φ(-2.327).
∴ ≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少为81.1635.
小结:(1)若ξ~N(0,1),则η= ~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x<0时,f(x)为增函数,x>0时,f(x)为减函数.
例22.设 ,且总体密度曲线的函数表达式为: ,x∈R.
(1)则μ,σ是 ;(2)则 及 的值是 .
思路启迪: 根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体 与标准正态总体N(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
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解答过程:⑴由于 ,根据一般正态分布的函数表达形式,可知μ=1, ,故X~N(1,2).
.
又
.
小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
例23. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(单位:cm),则车门应设计的高度是 (精确到1cm)?
思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x的概率小于1%.
解答过程:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm,由题意,需使P(ε≥x)<1%.
∵ε~N(173,7),∴ 。查表得 ,解得x>179.16,即公共汽车门的高度至少应设计为180cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
【专题训练与高考预测】
一.选择题
1.下面关于离散型随机变量的期望与方差的结论错误的是 ( )
A.期望反映随机变量取值的平均水平,方差反映随机变量取值集中与离散的程度.
B.期望与方差都是一个数值,它们不随试验的结果而变化
C.方差是一个非负数
D.期望是区间[0,1]上的一个数.
2.要了解一批产品的质量,从中抽取200个产品进行检测,则这200个产品的质量是 ( )
A. 总体 B.总体的一个样本 C.个体 D. 样本容量
0 1
P
3.已知 的分布列为:
设 则 的值为 ( )
A. 5 B. C. D.
4.设 , , ,则n,p的值分别为 ( )
A.18 , B. 36 , C. ,36 D. 18,
5.已知随机变量 服从二项分布, ,则 等于 ( )
A. B. C. D.
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