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概率统计的解题技巧,
例8.( 2006年浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ,求n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答](I)记"取到的4个球全是红球"为事件 .
(II)记"取到的4个球至多有1个红球"为事件 ,"取到的4个球只有1个红球"为事件 ,"取到的4个球全是白球"为事件 .
由题意,得
所以, ,
化简,得 解得 ,或 (舍去),
故 .
例9. (2007年全国I卷文)
某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记 表示事件:" 位顾客中至少 位采用一次性付款",则 表示事件:" 位顾客中无人采用一次性付款".
, .
(Ⅱ)记 表示事件:" 位顾客每人购买 件该商品,商场获得利润不超过 元".
表示事件:"购买该商品的 位顾客中无人采用分期付款".
表示事件:"购买该商品的 位顾客中恰有 位采用分期付款".
则 .
, .
.
例10.(2006年北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B· )+P( ·B·C)+P(A· ·C)+P(A·B·C)
=a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.
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应聘者用方案二考试通过的概率
p2= P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)= ×(a×b+b×c+c×a)= (ab+bc+ca)
(Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)
≥ = .
∴p1≥p2
例11.(2007年陕西卷文)
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , , ,
该选手进入第四轮才被淘汰的概率 .
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量 可能取的值为 , ,……, ,……, 取每一个值 ( 1,2,……)的概率P( )= ,则称下表.
…
…
P P1 P2 …
…
为随机变量 的概率分布,简称 的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
(1) , 1,2,…;(2) …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列:
(1)二项分布
次独立重复试验中,事件A发生的次数 是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且 ,其中 , ,随机变量 的分布列如下:
0 1 …
… P
…
称这样随机变量 服从二项分布,记作 ,其中 、 为参数,并记: .
(2) 几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量," "表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为:
1 2 3 … k …
P p qp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)记"厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品"为事件A
用对立事件A来算,有
(Ⅱ) 可能的取值为 .
,
,
.
记"商家任取2件产品检验,都合格"为事件B,则商家拒收这批产品的概率
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