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概率统计的解题技巧,
.
所以商家拒收这批产品的概率为 .
例13.(2007年陕西卷理)
某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量 的分布列与数学期望.
(注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]解法一:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , ,
该选手被淘汰的概率
.
(Ⅱ) 的可能值为 , ,
,
.
的分布列为
1 2 3
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.
解法二:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , .
该选手被淘汰的概率 .
(Ⅱ)同解法一.
考点3 离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望: …;期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差: … …;
方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
⑶基本性质: ; .
(4)若 ~B(n,p),则 ; D =npq(这里q=1-p) ;
如果随机变量 服从几何分布, ,则 ,D = 其中q=1-p.
例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:
ε 0 1 2 η 0 1 2
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为 .
思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.
解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:
,
;
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
,
由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dε>Dη,可见乙的技术比较稳定.
小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
例15.(2007年全国I理)
某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 的分布列为
1 2 3 4 5
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件 :"购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款"的概率 ;
(Ⅱ)求 的分布列及期望 .
[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)由 表示事件"购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款".
知 表示事件"购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款"
, .
(Ⅱ) 的可能取值为 元, 元, 元.
,
,
.
的分布列为
(元).
小结:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是
A.70,25 B.70,50 C.70,1.04 D.65,25
解答过程:易得 没有改变, =70,
而s2= [(x12+x22+…+502+1002+…+x482)-48 2]=75,
s′2= [(x12+x22+…+802+702+…+x482)-48 2]
= [(75×48+48 2-12500+11300)-48 2]
=75- =75-25=50.
答案:B
考点4 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).
3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.
总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.
典型例题
例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .
解答过程:A种型号的总体是 ,则样本容量n= .
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例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为 ,那么在第 组中抽取的号码个位数字与 的个位数字相同,若 ,则在第7组中抽取的号码是 .
解答过程:第K组的号码为 , ,…, ,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ,所以抽取号码为63.
例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.
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