发现一元二次方程根与系数的关系教案1

教学目标
    1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.3.渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律;
    4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.
    教学重点  根与系数的关系及其推导
    教学难点  正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和,两根的积与系数的关系.
    教学过程
    一、复习引入
    1.已知方程 x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。
    2.有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有根简洁的关系?
    3.有求根公式可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1= ,x2= .观察两式左边,分母相同,分子是-b+√b 2-4ac与-b-√b 2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?
    二、探索新知
    解下列方程,并填写表格:
    方   程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
    x2-2x=0   
    x2+3x-4=0   
    x2-5x+6=0   
    观察上面的表格,你能得到什么结论?
    (1)关于x的方程  x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系?
    (2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1, x2与系数a,b,c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?
    解下列方程,并填写表格:
    方   程 x1 x2 x1+x2 x1. x2
    2x2-7x-4=0   
    3x2+2x-5=0   
    5x2-17x+6=0   
    小结:1.根与系数关系:
    (1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1+x2=-p, x1. x2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
    (2)形如的方程ax2+bx+c=0(a≠0),可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论。
    即: 对于方程   ax2+bx+c=0(a≠0)
    ∵  ∴
    ∴  ,   
    (可以利用求根公式给出证明)
    例1:不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:
    例2:不解方程,检验下列方程的解是否正确?
    例3:已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)
    例4:已知方程 的一个根是 ,求另一根及k的值.
    变式一:已知方程 的两根互为相反数,求k;
    变式二:已知方程 的两根互为倒数,求k;
    三、巩固练习
    1.已知方程  的一个根是1,求另一根及m的值.
    2.已知方程 的一个根为 ,求另一根及c的值.
    四、应用拓展
    1.已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍,求m的值.
    2.已知两数和为8,积为9,求这两个数.
    3. x2-2x+6=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,x1x2=6.是否正确?
    五、归纳小结
    1.根与系数的关系:
    2.根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.
    六、布置作业
    1.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积。
    (1)x2-5x-3=0   (2)9x+2= x2     (3) 6 x2-3x+2=0  (4)3x2+x+1=0
    2. 已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.
    3. 已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2求另一根及b的值。