一、素质教育目标
(一)知识教学点
巩固正、余切概念及查表方法,学会用正、余切来解决问题.
(二)能力训练点
通过例题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力;通过归纳、概括,培养学生逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点:用正、余切解直角三角形.
2.难点:灵活运用正切、余切.
3.疑点:学生可能对正切、余切概念掌握不牢,导致出现b=a·tgA之类的错误,教学中应引起重视,使学生熟能生巧.
三、教学步骤
(一)明确目标
结合图6-13,说出什么是∠A的正切、余切?
请班级里较差学生回答,以检测其掌握情况.
2.tgA与ctgA具有什么关系?
3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?
答:tgA=ctg(90°-A),ctgA=tg(90°-A).
4.在0°~90°间,正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么?
通过以上四个问题,使学生对新学的知识有了系统的认识,便于应用.
对概念的巩固最好的途径是配备练习题.因此,教师在引导学生复习有关概念后,应出示练习题(投影片).
1.在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
①若a=3,c=4,则tgA=______,ctgA=______,tgB=______,ctgB=______.
2.比较大小:
①tg45°______tg50° ②ctg30°______ctg60°
③sin30°______tg30° ④ctg45°______tg60°
3.计算题:
①sin60°-ctg60°+tg45°;
(二)整体感知
本课安排在本小节末,运用本小节的知识去解决一个简单问题,再次为本章第二节解直角三角形作好准备.当然,这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决,不过那样做,就要先求出斜边C,解的过程要繁琐一些.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.讲授新课
例4 在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,已知a=15,∠A=35°,求b(保留两位有效数字).
这个题是本大节知识的综合运用,考查的知识点面面俱到,是检查全体学生是否全面达到教学目标要求的有效途径.教学中应引导学生全体参与,积极地探求各种解法,然后加以比较,优选出最佳方法,以培养学生思维的敏捷性、深刻性,形成良好的思维品质.
分析:本题已知a和∠A,求b,观察图6-14不难发现,边a、b恰好是∠A的对边与邻边,因此求b可选用以下两个关系式:(1)tgA=
数字的数,计算相对方便.
∴b=a·ctgA=15×ctg35°
=15×1.4281≈21.
解完例题之后,应引导学生小结:本题显示了"除法与乘法在一定条件下可以互相转化",其中"条件"是tgA与ctgA互为倒数.认真分析和利用这种转化,有时可使计算简便.
2.巩固练习
本节课实际上是对前二节课的综合,通过对前二大节知识的综合运用,以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力.因此例题后应安排练习题如下:
在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)已知c、∠A,求a和b;
(2)已知b、∠A,求a;已知a、∠A,求b;
(3)已知a、b,怎样求∠A?已知a、c,怎样求∠A?利用b、c,怎样求∠A?
(4)已知a=51,∠B=70°,求b、c(保留两位有效数字).
(5)已知a=22,b=12,求∠B(精确到1°).
前三个小题不用代数计算,只寻求关系式即可,通过学生对各种情况加以分析,选取恰当的关系式,得出结果,起到培养学生思维能力的作用.
后两个小题是具体实践,通过计算,为下一大节作准备.
课堂上应该给学生足够的时间,引导学生讨论、研究,筛选出最佳关系式使计算简便.这是培养学生计算能力的良机,千万不能操之过急.
参考答案:(1)a=c·sinA,b=c·cosA;
(2)a=b·tgA,b=a·ctgA;
(3)将a除以b,根据所得商查正切表得∠A;将a除以c,根据所得的商查正弦表得∠A;将b除以c,根据所得的商查余弦表得∠A.
(4)b=1.4×102,c=1.5×102
(5)29°
3.指导阅读
随着科技的不断发展,数学课堂也不能拘泥于原有的教学手段与设备.如锐角的三角函数值完全可通过计算器来求.因此,指导学生学会用计算器、微电脑等也是很必要的.
本课"做一做"讲解了用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角,教师应指导学生阅读,有条件的学校还应该指导学生实践.
4.对学有余力的学生,可引导其进一步思考正弦、余弦间的关系,正切、余切间的关系以及弦、切间的关系,保证知识的完整性,为高中三角函数的学习打下基础.教师板书