任意角三角函数定义的教学认识

11-07 14:56:20   浏览次数:961次  栏目：高一数学教学设计

标签：高一数学教学设计大全,http://www.lexue88.com 任意角三角函数定义的教学认识,

 1.整体把握,使教学线索清晰,层次分明
    三角函数是以函数为主线,刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上,通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角,并使角与实数建立一一对应关系,然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此,三角函数是函数的下位概念,同时又是锐角三角函数的上位概念,教学要以函数思想为指导,以坐标系和单位圆为定义工具,以初中锐角三角函数概念为认知的起点,促进任意角三角函数定义的有效生成.
    教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出:(1)三角函数值在各个象限的符号;(2)单位圆中的三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系;(4) 三角函数的诱导公式;(5)三角函数的图象与性质等.可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.
    本节课的学习目标是理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.
    由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因,同时,用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标(比值)表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应.学生理解该定义很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.
    教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程:(1)回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义;(2)把锐角α放在直角坐标系中,用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数;(3)由相似三角形的知识可知,三角函数值只与α的大小有关,与点在终边上的位置无关,因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数;(4)类比得出用单位圆定义任意角三角函数,并将它纳入到一般函数概念的范畴.
    教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的"来龙去脉",通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须"另起炉灶",只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可.
    2.抓住关键,使教学精炼、简约而高效
    由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性,坐标系、单位圆引入的自然性,以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受"数学是自然的、清楚的、水到渠成的".
    当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加,初中数学对高中数学支持减弱,新课程赋予数学教学更多的价值取向,要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上,学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是"接受--建构"式的,因此,对教学起关键作用的内容,要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导,发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡,让教学效益达到最大化.
    在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决"学习的必要性"问题,明确要研究的内容.教材将"三角函数"作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入.
    由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形,从而引发学生认知冲突,激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验,但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为,从帮助学生理解定义的实质,体会坐标思想与数形结合思想的角度,教师可利用适当的语言,引导学生重点解决"如何用坐标表示锐角三角函数"的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性:
    现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢?
    上述问题提得"大气",既能使学生的学习围绕关键问题展开,又突出正弦函数的概念分析.当然,若能依教材先作锐角情形的铺垫,教学更符合学生"最近发展区",提高效率.
    这里,需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数,有助于从函数的本质特征来认识三角函数.
    在第三个环节中,首先是如何自然引入单位圆的问题.
    用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点,其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上点的横、纵坐标)之间的对应关系更清楚、简单,突出了三角函数的本质,有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数,其次是使三角函数反映的数形关系更直接,为后面讨论函数的性质奠定了基础.
    但单位圆的这些"优点"要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此,引入单位圆的"理由"应该另辟蹊径,白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后,从求简的角度设置问题,不愧为"棋高一招":

www.lexue88.com     大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?
    在学生得出 时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此,学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.
    由于"定义"是一种"规定",因此,第四环节中,教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形,直接给出任意角三角函数定义,对学生而言,关键是理解这样"规定"的合理性,对定义合理性认知基础就是三角函数的"函数"本质--定义要符合一般函数的内涵(函数三要素).
    3.精心设计问题,让课堂成为学生思维闪光的舞台
    基于上述认识,对定义部分的教学,给出如下先行组织者和主干问题设计.
    先行组织者1:周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象,大到宇宙运动,小到粒子变化,这些现象的共同特点是具有周期性,另外,如潮汐现象、简谐振动、交流电等,也具有周期性,而"三角函数"正是刻画这些变化的基本函数模型.
    三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用?本课从研究第一个问题入手. 意图:明确研究方向与内容.
    问题1:在初中,我们已经学习了锐角三角函数,它是怎样定义的?
    意图:从学生已有的数学经验出发,为用坐标定义三角函数作准备.
    问题2:现在,角的概念已经推广到了任意角,上述定义方法能推广到任意角吗?
    意图:引发学生的认知冲突,激发学生求知欲望.
    问题3:如何定义任意角的三角函数?
    意图:引导学生探索任意角三角函数的定义.
    先行组织者2:我们知道,直角坐标系是展示函数规律的载体,是构架"数形结合"的天然桥梁,上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究,借助坐标系,可以使角的讨论简化,也能有效地表现出角的终边位置"周而复始"的现象.坐标系也为我们从"数"的角度定义任意角三角函数提供有效载体.

[1] [2]  下一页

，任意角三角函数定义的教学认识