一、教学目的和要求
使学生掌握矩形的定义和性质,理解并掌握矩形和平行四边形的联系和区别,使学生能应用以上知识解决有关问题,培养学生的逻辑推理能力。
二、教学重点和难点
重点:掌握矩形的性质
难点:利用矩形的性质解决问题
三、教学过程
(一)复习、引入
提问:
1. 什么叫平行四边形?
(学生回答后强调任何定义都具有可逆性,即是定义,又是判定。)
2. 叙述平行四边形的性质和判定定理,(再强调分析命题的条件与结论的关系)。
(二)新课
这一节课我们要研究特殊的平行四边形。演示教具,使平行四边形的一个内角变化成直角,指出,它仍然满足平行四边形的定义,所以它仍是平行四边形,由于角特殊,因此是特殊的平行四边形--矩形。(板书课题)
矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是平行四边形,但角特殊,它首先具有平行四边形的一切性质,还具有本身的特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
如图1,矩形ABCD中,
在 中,AB=DC, ,BC=BC
这样我们很容易得到矩形除平行四边形性质之外的两条性质,它与矩形的角和对角线有关,与边无关。
图1
矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角。
矩形性质定理2:矩形的对角线相等。
从上图中我们可以看到由于矩形的四个角是直角,所以有四个全等的直角三角形;由于矩形的对角线互相平分且相等,所以图形中不存在四个等腰三角形。在用好矩形性质的同时,也要注意用好特殊三角形的性质。
同时得到推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 已知:如图2,矩形ABCD中,E是BC上一点, 于F,若 。求证:CE=EF。
图2
分析:CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要通过 ,在矩形中容易构造全等的直角三角形。
证明:
在
此题还可以证明 ,得到EF=EC
例2 已知:如图3,矩形ABCD中, 于E,且 。
求: 的度数。
分析:由已知 可得 。而所求 是 的一部分,就要研究 与其它角的关系。因为OA=OD,所以 = 。把题目中的已知条件 ,与矩形的性质 结合起来,得到基本图形直角三角形斜边上的高的形式,可以推出 ,于是得到 ,求 的度数也就显然了。
图3
解:
例3 已知:如图4,矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过O点交AD于E,交BC于F,且EF=BF, 。求证:CF=OF。
图4
分析:欲证CF=OF,只要 ,由矩形可知 。由 ,可得到OE=OF,又因为EF=BF,有 ,由于 ,于是 步 ,又有 ,
(三)巩固练习
1. 如图5,在矩形ABCD中, ,求这个矩形的周长。(答案:16+ )
图5 图6
在矩形中若存在矩形对角线,那就一定要利用矩形对角线的性质,即相等又平分,转化成等腰三角形,利用等边对等角的性质。
2. 已知:如图6,矩形ABCD中,AE平分 交BC于E,若
求: 的度数。(提示:要充分利用等腰 ,等边 的性质)
解: 矩形ABCD,AE平分
(四)小结
今天我们主要学习了矩形的定义及性质,矩形是角特殊的平行四边形,决定了矩形的四个角都是直角,对角线相等。由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形,等腰三角形,所以我们还要把直角三角形,等腰三角形,等边三角形的性质、判定好好复习一下,这对于解决矩形问题是大有好处的。
(五)作业
1. 已知:矩形ABCD,M是BC的中点,BC=2AB。求证: 。
2. 矩形的对角线的一个交角是 ,一条对角线长为8cm。求矩形的边长。
3. 已知:如图7, 的两条高线BE、CF;M为BC中点,N为EF中点。求证: 。
图7 图8
4. 已知:如图8,矩形ABCD中,F在CB延长线上,AE=EF,CF=CA。