教学目标
①了解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.
②在涉及多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.
③能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生的数学应用能力.
④体会并感知数学建模的一般思想.
教学重点与难点
重点：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决.
难点：对数学建模的过程、思想、方法的领会,提升分析解决问题的能力.
教学准备
教师准备：多媒体课件.
教学设计
1．复习：在课本“
2.激疑：上图的图象所表示的函数是正比例函数吗?是一次函数吗?你是怎样认为的?
注:在前面函数图象的学习中,学生已接触了此类图象并能根据图象信息回答相应的问题.但在学生的印象中这个图只是表明了两个变量间的一种变化关系,是一种函数关系,而不知是什么类型的函数.在熟悉又陌生的事物面前,学生的思想被激发了.
学生可以从图象的特征,函数的性质等多方面进行讨论,教师先不必给出明确的判断,而是引导学生继续思考下面的问题.
探求新知
1.问题：小芳以
注:让学生通过讲述暴露其思维过程,有利于理清学生的思路.
建议先让学生思考后再让学生发言,对于有补充或不同意见的学生都让其充分发表意见.应当鼓励学生说出自己的思考过程(即你是怎样想的).
然后由一位学生上前写出函数关系式,再分析其写法的准确性.
归纳此类函数解析式的特征与写法,并强调自变量取值范围应当写在相应函数解析式的后面.
突出写法的规范性,这是需要强调的基本功,应当落实到位.同时使学生初步从数的角度感受此类函数的特征.
2.请画出上述函数的图象.
建议通过投影仪将学生的成果展示评判,首先引导学生分析所画的图象是否正确,再引导学生分析图象的特点,并在与正比例函数、一次函数图象的比较中加深理解其特征.
注:从数与形的角度全面感受分段函数的特点,并在与正比例函数、一次函数的比较中加深理解,完善认知.
3.得出分段函数的概念.
我们称此类函数为分段函数.开始时引入图象所表示的函数是分段函数吗?你能写出它的解析式吗?说说你的
做法.
注:可视学生情况当堂解决或统一解题思路后课外解答.
在获取新知的基础上,回过来解决开头引入的问题,进一步享受学习的成功.
问题解决
1.提出问题：A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,怎样调运可使总运费最小?
2.分析思考：影响总运费的变量有哪些?由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有几个量?这些量之间有什么关系?
在分析题意的过程中,学生发现由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有4个量,它们都影响这总运费,同时,它们之间又是互相联系的.由于有七年级方程(组)以及不等式解决实际问题的经验,可以引导学生列表以分清各变量之间的关系.
3.解决问题：
师生共作,完成解题.可从解析式与图象中看出结果,结合函数性质进行理性思考.
4.回顾反思：
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题中的条件寻求可以反映实际问题的函数.
如果已知总运费的数目,求调运方案,则是学生学过的方程知识可以解决的,学生有这样的解题经验.如果是已知总运费的最大值,则用不等式知识可以解决.如果已知其中A—C的运量,则正向思维即可求总运费,这是算术思想就可以解决的.而此题是在变化情景中探求,突出变量数学的特征,此时亦可使学生初步感受函数方法与前述方法的联系,为下一单元用函数观点看方程与不等式埋下伏笔.这些感受可以在分析思考或回顾反思中视情况渗透.
拓展与思考
拓展：若A城有肥料300吨,B城有肥料200吨,其他条件不变,又应怎样调运?
由学生用同样思路建立模型：
设总运费为y元,A城运往C乡的肥料量为x吨.可得：y=4x+10140(40≤x≤240)
在讨论分析中得出结论,从解析式与图象以及函数性质可以看出：当x=40时,y有最小值10300.
思考：在上题的解决中,你认为在解决此类问题时需要注意哪些方面?
变式运用,可以巩固初学的知识与方法,加深领会.此变式初看是题变方法不变,似乎简单.可深入后又发现不变中又有变,从而加深对此类问题求解的感悟,明白自变量取值范围的重要性,以及解题的关键是在一般策略下具体问题具体分析,而非死记硬套.从而也有效促进其认知监控水平的提高.
布置作业
1.必做题：教科书P.134 练习、P.135 习题11.2第1～9题.
2.选做题：教科书P.136 习题11.2第11、12题.
教学反思
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