高中数学定义法解题思路示范

02-10 16:43:44   浏览次数:595次  栏目：数学典例讲解

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数学定义法
所谓定义法，就是直接用高中数学定义解题。高中数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
数学定义法示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ，  ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式；    ② 如果 ＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）；
由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得： ，
解得 。
【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判定在( ,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。
【解】   解得：  
 ∴ f(x)＝－x ＋x  解f(x)>0得：0<x<1
设 <x <x <1， 则f(x )－f(x )＝－x +x -（-x +x ）=(x -x )[1-(x +x )( x +x )],
∵ x +x > ， x +x >    ∴ (x +x )( x +x )〉 × ＝1
∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数
∵ <1   ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函数。
 

  A’              A
                      D
       C’                C
          O            H
 B’              B  
 

【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
①   证明：AB’∥平面DBC’；
②   假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）
【数学定义法解题的思路】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形 
∴ O是B’C中点
△AB’C中， D是AC中点    ∴ AB’∥OD   
∴   AB’∥平面DBC’
②      作DH⊥BC于H，连接OH  ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD,  AB’⊥BC’   ∴ BC’⊥OD  
∴ BC’⊥OH  即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝  ；   
Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ， 
∴  OH＝ ＝DH    ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。
【运用高中数学定义应注意】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，所以B’E＝ 。
 

 y
    M  F
      A      x
 

例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。
【数学定义法解题的思路】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：
  ，消m得：（x－1） ＋ ＝1，
所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1。
【运用高中数学定义应注意】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
五、
 

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