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赋值法在二项式定理中的应用,
赋值法在二项式定理中的应用
例1．已知, 其中b
0+b
1+b
2+……+b
n=62, 则n=_________.
分析:令x=1，则 ,
由已知， 2
n+1-2=62, ∴ 2
n+1=64,
∴ n=5.
例2．已知
1）求a
0, 2）求a
1+a
2+a
3+a
4+a
5 3）求(a
0+a
2+a
4)
2-(a
1+a
3+a
5)
2 4）求a
1+a
3+a
5 5）|a
0|+|a
1|+……+|a
5|
分析:
1）可以把(1-2x)
5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a
0为x=0时右式的结果，因而令x=0,
∴ (1-0)
5=a
0, ∴ a
0=1.
2）令x=1, 则(1-2)
5=a
0+a
1+a
2+a
3+a
4+a
5 又a
0=1,∴ a
1+a
2+a
3+a
4+a
5=-2.
3）令x=1，得a
0+a
1+a
2+……+a
5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a
0-a
1+a
2-a
3+a
4-a
5 (**)
因而,(a
0+a
2+a
4)
2-(a
1+a
3+a
5)
2 4）联立(*),(**)两方程，解得a
1+a
3+a
5=-122.
5）
因而 |a
0|+|a
1|+……+|a
5|即为(1+2x)
5的展开式的所有系数和，
∴ |a
0|+|a
1|+……+|a
5|=(1+2)
5=3
5=243.
小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
例3．求的展开式中有理项系数的和.
分析:研究其通项.
显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)
n的奇数项的系数和.
设 (2+t)
n=a
0+a
1t+a
2t
2+……+a
nt
n 令t=1，即3
n=a
0+a
1+a
2+……+a
n 令t=-1，
即1=a
0-a
1+a
2-……+(-1)
na
n 上两式相加，解得奇数项系数和.
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