标签：高一数学讲解,高中数学讲解,http://www.lexue88.com
高考解答题中的导数应用,
例1．（历年高空真题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上为减函数。
分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x
20, ∴ f(x)=-x
3+1在（-∞，+∞）上为减函数。
例2．（历年高空真题）甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。
（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
解：（I）（略解） 。
（II），令y'=0，得。
当时，是该函数唯一的极值点。
∴ 当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。
当时，而v∈(0,c]，所以，此时y'<0，
∴ 在v∈(0,c]为减函数，∴ 当v=c时全程运输成本最低。
综上所述，当时，全程的运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。
例3．（历年高空真题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。
解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。
（1）当f'(x)>0时，即在R上恒成立，
而当x→∞时，，所以这样的a不存在。
（2）当f'(x)<0时，即在R上恒成立，而，所以只需a≥1即可。
∴ 当a≥1时，f(x)为减函数。
由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。
例4．（历年高空真题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？
解：设画面的高为xcm, 宽为λxcm，则。
所以纸张的面积为S=(x+16)(λx+10)=λx
2+(16λ+10)x+160。
将代入上式得：。
，令y'=0得，它是唯一的极值点。
∴ 当时，S取得最小值，即当高为88cm，宽为时，能使宣传画所用的纸张最小。
当时，y'>0，所以，在时为增函数。
∴ 当时，能使宣传画所用的纸张面积最小。，高考解答题中的导数应用
