高三立体几何章末综合测试题

高三数学章末综合测试题（13）立体几何（1）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
          A．7       B．6       C．5       D．3
　解析　A　依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π(r＋3r)•3＝84π，解得r＝7.
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则(　　)
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与 GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
　解析　D　依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝12BD，FG＝23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所 以点M一定在AC上．
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)
          A．1        B．15         C．35       D．75
　解析　D　k a＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝
         (3,2，－2)，∵两向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝75.
4．已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是(　　)
A．m∥α，n∥α   B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n⊂α   D．m、n与 α所成的角相等
　解析　D　对于选项A，当m∥α，n∥α时，直线m、n可以是平行、相交或异面 ；而当m∥n时，m、n与α的关系不确定，故选项A是m∥n的既不充分也不必要条件；选项B是m∥n的充分不必要条件；选项C是m∥n的既不充分也不必要条件；对于选项D，由m∥n可以得到m、n与α所成的角相等，但是m、n与α所成的角相等得不到m∥n.故选项D符合题意．
5．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是(　　)
          A．288＋36π  
          B．60π
          C．288＋72π  
          D．288＋18π
解析　A　依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π，故选A.
6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确 的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
　解析　B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另 一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
7．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)
A．6a2　 　 　 B．12a2　
C．18a2　　　 D．24a2
　解析　B　依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×a32＝18a2，故表面积增加量为18a2－6a2＝12a2.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.63   B.265 
C.155   D.105
　解析　D　如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知∠C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角．
∵BC＝2，CC1＝1，∴BC1＝22＋1＝5，
又C1O1＝12A1C1＝1222＋22＝2，
∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1＝O1C1BC1＝25＝105.
9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有(　　)
A．0个   B．1个 
C．2个   D．3个
　解析　C　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．
10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝5，AA1＝4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　)            
A．410   B．83 
C．202   D．162
　解析　C　由V1＝V3，可得AE＝B1E1，设AE＝x，则12x×4×5∶[(10－x)×4×5]＝1∶3，得x＝4，则A1E＝42＋42＝42，所以截面A1EFD1的面积为202.
11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为(　　)
           A．30°  
           B．45° 
           C．60°  
           D．90°
解析　C　还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.故选C.

12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值为5；
④MN的最小值为1.
其中真命题的个数是  (　　)
A．1  B．2 
C．3   D．4
　解析　C　易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3，ON＝2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON<OM，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，OM<ON，矛盾，故②错．当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值5，故③④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横 线上)
13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

　解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】　M位于线段FH上
14．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.

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