高三数学数列测试题

高三数学章末综合测试题（9）数列
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为(　　)
A．6　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9
解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.
答案：A
2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是(　　)
A.12         B．1         C．2          D．3
解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.
答案：C
3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于(　　)
A．1           B．－4          C．4             D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d＜0   B．a7＝0
C．S9＞S5   D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.
答案：C
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为(　　)
A．－12   B.12
C．1或－12   D．－2或12[
解析：设首项为a1，公比为q，
则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．
当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3•a1q2，
∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，
解得q＝1(舍去)，或q＝－12.
综上，q＝1，或q＝－12.
答案：C
6．若数列{an}的通项公式an＝5 •252n－2－4•25n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于(　　)
A．3           B．4             C．5             D．6
解析：an＝5•252n－2－4•25n－1＝5•25n－1－252－45，
∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．
此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 
答案：A
7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是(　　)
A．a21a22          B．a22a23            C．a23a24            D．a24a25
解析：∵3an＋1＝3an－2，
∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.
∴an＝a1＋(n－1)•d＝15－23(n－1)．
令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.
又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.
答案：C
8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　)
A．1.14a   B．1.15a
C．11×(1.15－1)a   D．10×(1.16－1)a
解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，w
an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．
∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.
答案：C
9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7•a14的最大值为(　　)
A．25           B．50             C．1 00           D．不存在
解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10.    ∴a7＋a14＝10.
       又a7＞0，a14＞0，∴a7•a14≤a7＋a1422＝25.
答案：A
10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn(　　)
A．在直线mx＋qy－q＝0上
B．在直线qx－my＋m＝0上
C．在直线qx＋my－q＝0上
D．不一定在一条直线上
解析：an＝mqn－1＝x，　　　　　　　　　　　　　①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，  ②
由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)， 即qx－my＋m＝0.
答案：B
11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为(　　)
A．n2－n   B．n2＋n＋2
C．n2＋n   D．n2－n＋2
解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－1•2＝n2－n＋2.
答案：D
12．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是(　　)
A．8 204  B．8 192
C．9 218  D．以上都不对
解析：依题意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有2 个
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．
…
F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．
F(1 024)＝10，有1个．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝
2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，
∴T＝8×210＋2＝8 194， m]
∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.
答案：A
第Ⅱ卷　(非选择　共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ，共20分．
13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数 列的通项公式为__________．
解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，
∴an＋1＝3•3n－1＝3n，∴an＝3n－1.
答案：an＝3n－1
14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．
解析：设{an}的公差为d，则d≠0.
M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]
＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.
答案：M＜N
15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.
解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上，
∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．
∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，
∴an＝6n2.
∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1
∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.
答案：6nn＋1
16．观察下表：
1
2　3　4
3　4　5　6　7
4　5　6　7　8　9　10
…
则第__________行的各数之和等于2 0092.
解析：设第n行的各数之和等于2 0092，
则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．
故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092， 解得n＝1 005.
答案：1 005
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.
(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；

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