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高三数学三角函数、解三角形训练题,
③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：①中，S扇形＝12α•R2＝12×12×22＝1，
∴①不正确．
②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ＝13＋121－13×12＝1，
又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.
又由tanβ＝13＜1，得0＜β＜π4， ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．
③中，由sinA＜sinB⇒BC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC＜AC.∴③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．∴④正确．
答案：②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知sinα＝－55 ，tanβ＝－13，且α、β∈－π2，0.
(1)求α＋β的值； (2)求2sin＝π4－α＋cosπ4＋β的值．
解析：(1)∵sinα＝－55，α∈－π2，0， ∴cosα＝255.∴tanα＝－12，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1. 又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.
(2)由(1)知，α＋β＝－π4，
2sinπ4－α＋cosπ4＋β＝2sinπ4－α＋cosπ4－π4－α＝2sinπ4－α＋cosα
＝2cosα－sinα＝2×255＋55＝5.
18．(12分)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝12，－12.
(1)若a•b＝22，a•c＝3－14，求角2β－α的值；
(2)若a＝b＋c，求tanα的值．
解析：(1)a•b＝(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)＝22.①
a•c＝(cosα，sinα)•12，－12
＝12cosα－12sinα＝3－14.②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.
由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.
∵α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.
(2)由a＝b＋c，可得cosβ＝cosa－12， ③sinβ＝sinα＋12. ④
③2＋④2，得cosα－sinα＝12.
∴2sinαcosα＝34.
又∵2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，
∴3tan2α－8tanα＋3＝0.
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一个周期的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋fα－π3＝2425，且α为△ABC的一个内角，
求sinα＋cosα的值．
解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1，
函数f(x)的周期为T＝ 4×π12＋π6＝π.
而T＝2πω，则ω＝2.
又x＝－π6时，y＝0，∴sin2×－π6＋φ＝0.
而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3.
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋π3.
(2)由f(α)＋fα－π3＝2425，得
sin2α＋π3＋sin2α－π3＝2425，化简，得sin2α＝2425.
∴(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝4925.
由于0 ＜α＜π，则0＜2α＜2π，
但sin2α＝2425＞0，则0＜2α＜π，（此括号内不是文章内容，来自www.lexue88.com，阅读请跳过），即α为锐角，
从而sinα＋cosα＞0，因此sinα＋cosα＝75.
20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.
(1)求cosB的值．
(2)若BA→•BC→＝2，b＝22，求a 和c.
解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，
由正弦定理，得sinB•cosC＝3sinAcosB－sinCco sB，
∴sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB.
∵sinA≠0，∴cosB＝13.
(2)∵BA→•BC→＝ac•cosB＝ 13ac＝2，∴ac＝6.
∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，
∴a2＋c2＝12，∴a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c＝6.
21．(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB.
(1)求角C；
(2)试求△ABC面积S的最大值．
解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，
两边同乘以2R，得
(2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB，
根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab.
再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，
又0＜C＜π，∴C＝π4.
(2)∵C＝π4，∴A＋B＝3π4.
S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB
＝2R2sinAsin34π－A＝22R2sin2A－π4＋12R2，
∴当2A－π4＝π2，即A＝38π时，
S有最大值12＋22R2.
22．(12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解析：方法一：
(1)依题意，
故NP+MN＝1033sinθ＋1033sin(60°－θ)
＝103312sinθ＋32cosθ
＝1033sin(θ＋60°)．
∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．
方法二：(1)同方法一；
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
由余弦定理，得
MN2＋NP2－2MN•NP•cos∠MNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MN•NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN•NP≤MN＋NP22，
从而34(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤1033，
当且仅当MN＝NP时等号成立．
即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．
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