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高三数学三角函数、解三角形章末复习测试,
解析 由图象可得最小正周期为2π3. 所以f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，
故f2π3＝－fπ2＝23.
【答案】 23
14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且
满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．
解析 由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absin C＝12×4×sin 60°＝3.
【答案】 3
15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的
高度为________m.
解析 轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60°＝53(m)．
【答案】 53
16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.
解析 记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情
形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知
有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33
＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.
【答案】 －12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解析 ∵lg sin B＝lg22，∴sin B＝22，
∵B为锐角，∴B＝45°.
又∵lg a－lg c＝lg22，∴ac＝22.
由正弦定理，得sin Asin C＝22，
∴2sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是π2.
(1)求ω 的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解析 (1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝2sin2ωx＋π4＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋π4＋2.
当4x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π16＋kπ2(k∈Z)时，
sin4x＋π4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝π16＋kπ2，k∈Z.
19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，CA→•CB→＝4，求c的值．
解析 (1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，
所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.
因为C∈(0，π)，所以C＝π3.
(2)因为CA→•CB→＝|CA→|•|CB→|cos C＝12ab＝4，
所以ab＝8.因为a＋b＝6，（此括号内不是文章内容，来自www.lexue88.com，阅读请跳过），根据余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.
所以c的值为23.
20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求y＝2sin2B＋cosπ3－2B的值域．
解析 (1)由m∥n得(2b－c)•cos A－acos C＝0.
由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0.
所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
即2sin Bcos A－sin B＝0.
因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，cos A＝12，
所以A ＝π3.
(2)y＝2sin2B＋cosπ3cos 2B＋sinπ3sin 2B
＝1－12cos 2B＋32sin 2B
＝sin2B－π6＋1.
由(1)得0<B<2π3，所以－π6<2B－π6<7π6，
所以sin2B－π6∈－12，1，所以y∈12，2.
21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象过点π8，－1.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解析 (1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)的图象过点π8，－1，
∴－1＝sinπ4＋φ，∴φ＋π4＝2kπ－π2(k∈Z)，
又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4.∴f(x)＝sin2x－3π4.
(2)由题意，T＝2π2＝π，由(1)知f(x)＝sin2x－3π4，
由2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)得增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．
(3)f(x)在[0，π]上的图象如图：
22．(12分)已知sinα－π4＝35，π4<α<3π4.
(1)求cosα－π4的值；
(2)求sin α的值．
解析 (1)∵sinα－π4＝35，且π4<α<3π4，
∴0<α－π4<π2，∴cosα－π4＝ 45.
(2)sin α＝sinα－π4＋π4＝sinα－π4cosπ4＋cosα－π4sinπ4＝7210.
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