二次函数的三种表示方式

二次函数的三种表示方式
二次函数可以表示成以下两种形式：
1．二次函数的一般式：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)；
2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)²＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax²＋bx＋c＝0．     ①
       并且方程①的解就是抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b²－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b²－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x₁，0)，B(x₂，0)，则x₁，x₂是方程ax²＋bx＋c＝0的两根，所以
x₁＋x₂＝ ，x₁x₂＝ ，
即       ＝－(x₁＋x­₂)， ＝x₁x₂．
       所以，y＝ax²＋bx＋c＝a( )
           = a[x²－(x₁＋x­₂)x＋x₁x₂]
           ＝a(x－x₁) (x－x₂)．
    由上面的推导过程可以得到下面结论：
       若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x₁) (x－x₂) (a≠0)．
       这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．二次函数的交点式：y＝a(x－x₁) (x－x₂) (a≠0)，其中x₁，x₂是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．