圆锥曲线方程总结

11-07 15:31:02   浏览次数:269次  栏目：高中数学知识点

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1.椭圆焦半径公式：设P（x₀,y₀）为椭圆 （a>b>0）上任一点，焦点为F₁(-c,0),F₂(c,0),则 （e为离心率）；
2.双曲线焦半径公式：设P（x₀,y₀）为双曲线 （a>0,b>0）上任一点，焦点为F₁(-c,0),F₂(c,0),则:（1）当P点在右支上时， ；
（2）当P点在左支上时， ；（e为离心率）；
另：双曲线 （a>0,b>0）的渐近线方程为 ；
3.抛物线焦半径公式：设P（x₀,y₀）为抛物线y²=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则 ；y²=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，则 ；
4. 求轨迹的常用方法：
（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x₁,y₁)的变化而变化，并且Q(x₁,y₁)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x₁、y₁，再将x₁、y₁带入已知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
5.共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂,y₂)，则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 ，焦准距为p= ，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线 （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax²+Bx²＝1；
9.抛物线y²=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂),则有如下结论：（1） ＝x₁+x₂+p;（2）y₁y₂=－p²，x₁x₂= ;
10. 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x₁，y₁)、B(x₂,y₂)为椭圆 （a>b>0）上不同的两点，M(x₀,y₀)是AB的中点，则K_ABK_OM= ；对于双曲线 （a>0，b>0），类似可得：K_AB.K_OM= ；对于y²=2px(p≠0)抛物线有K_AB＝  11.对于y²=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（ ，y₀）,以简化计算;
12. 过椭圆 （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则 ，过右焦点的弦 ；
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